 |
БЛИЦ-ТУР |
 |
Автор сайта - Баулина Елена
| визитка | блиц | обучающий тур | конкурсный тур | семинар | итоги |
Из "Всеобщей арифметики" Исаака Ньютона
1 задача
Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить её один раз в три недели, В - три раза за 8 недель, С - 5 раз за 12 недель. За какое время они смогут выполнить эту работу все вместе?(в неделе 6 рабочих дней по 12 часов)
Решение
Рабочий А выполнит работу за 3*6*12=216(ч)
Hабочий В выполнит работу за 8*6*12:3=192(ч)
Рабочий С выполнит работу за 12*6*12:5=864/5(ч)
За 1 час А выполнит 1/216 часть работы, В выполнит 1/192 часть работы, С выполнит 5/864 часть работы. Вместе за 1 час они выполнят 1/216+1/192+5/864=27/1728=1/64 часть работы.
Тогда всю работу они выполнят за 1:1/64=64(ч)
Ответ: за 64 часа
2 задача
Лев может съесть овцу за 2 часа, волк - за 3 часа, а собака - за 6 часов. За какое время они вместе съели бы овцу?
Решение
Лев за час съест1/2 часть овцы,
Волк за час съест 1/3 часть овцы,
Собака за час съест 1/6 часть овцы.
вместе за час они съедят: 1/2+1/3+1/6=1(овцу)
Ответ: они вместе съели бы овцу за 1 час.
3 задача
Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог дать каждому по 3, но он раздает лишь по два и у него остается 3. Сколько было бедных?
Решение
Пусть бедных - x, тогда
3х-8=2х+3
х=11
Ответ: было 11 бедных.
Из "Арифметики" Л.Ф.Магницкого (1703 г.)
1 задача
Некто согласился работать с условием получать в конце года одежду и 10 флоринов. Но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Во сколько ценилась одежда?
Решение
Пусть х флоринов стоит одежда, тогда (х+10)/12 - месячный заработок.
7(х+10)/12=х+2
7х+70=12х+24
5х=46
х=9,2
Ответ: одежда стоит 9,2 флорина
2 задача
Случися некоему человеку к стене лесницу приставить, стены же той высота 117 стоп. Имелась лестница длиною 125 стоп. На сколько стоп нижний конец сией лестницы от стены отставить?
Решение
При решении задачи используем теорему Пифагора.
Длина лестницы - гипотенуза, высота стены известный катет, отступ нижнего конца лестницы от стены - неизвестный катет.
125*125-117*117=1936=44*44
Ответ: длина отступа равна 44 стопы.
3 задача
Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.
Решение
а14=а1+13d, a1=59-13*4=7
S14=(7+59)/2*14=462
Ответ: все чарки весят 462 лата
4 задача
Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у этого человека?
Решение
1 гривна=10 копеек, 1 алтын-3 копейки.
Пусть бочка стоит х руб.
8х+0,6=9х-1,6
х=2,2 руб.
до покупки у него было 2,2*8+0,6=18,2 руб
Ответ: у человека было 18 рублей и 2 гривны
5 задача
Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят. За первую игрушку заплатил одну пятую своих денег, за другую три седьмых остатка от первой игрушки, за третью заплатил три пятых остатка от второй игрушки, а по приезде в дом нашел остальные - 1 рубль 92 копейки. Спрашивается, сколько в кошельке денег было и сколько за каждую игрушку он заплатил?
Решение
1-15=4/5 - остаток
4/5*3/7=12/35(денег) - за первую игрушку
4/5-12/35=16/35 - остаток от второй игрушки
16/35*3/5=48/175(денег) - стоит вторая игрушка
16/35-48/175=32/175 (денег) - осталось в кошельке
1,92:32/175=10,5(руб) - было в кошельке.
10,5*1/5=2,1(руб) - стоила 1 игрушка
(10,5-2,1)*3/7=3,6(руб) - стоила 2 игрушка
(8,4-3,6)*3/5=2,88(руб) - стоила 3 игрушка
6 задача
Говорит дед внукам: "Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза".Как же разделить орехи?
Решение
Уменьшив втрое количество орехов в большей части, мы получим их столько же, как в четырех меньших частях.
Значит большая часть должна содержать в 3*4=12 раз больше орехов, чем меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в меньшей, поэтому меньшая должна содержать 130/13=10 орехов, а большая 130-10=120 орехов.
Ответ: 10 и 120 орехов.
Индусские задачи из Бхасхары
Задачи решаются составлением квадратного уравнения
1 задача
Цветок лотоса возвышался над поверхностью пруда на 4 фута, под напором ветра он скрылся под водой на расстоянии 16 футов от того места, где он раньше поднимался над водой. Какой глубины был пруд?
2 задача
На две партии разбившись
Забавлялись обезьяны.
Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась,
Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.
Вместе сколько, ты мне скажешь,
Обезьян там было в роще?
Задача из "Азбуки" Л.Н.Толстого (1828-1910 гг.)
Задача
Пятеро братьев разделили между собой наследство отца поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собой, и тогда у всех пяти братьев стало поровну. Много ли стоили дома?
Решение
800*3=2400(руб.) - заплатили двум меньшим;
2400:2=1200(руб.) - получил каждый в наследство;
1200*5:3=2000 - стоил дом.
Ответ: дом стоил 2000 рублей.
Из рассказа А.П.Чехова "Репетитор"
Задача
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна на 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное - 3 рубля.
Решение
Пусть синего сукна было х аршин, тогда черного (138-х) аршин.
5х+3(138-х)=540
5х+414-3х=540
2х=126
х=63(аршина) - синего
138-63=75(аршин) черного.
Ответ: синего 63 аршина, черного 75 аршин.
Старинные задачи
1 задача
Скупой богач раздобыл 9 одинаковых монет, но, зная, что одна из них фальшивая и легче других, мучился до самой смерти, однако так и не додумался, как отличить, какая именно. Тем не менее даже самый начинающий мудрец, подумав, должен найти способ всего двумя взвешиваниями на весах без гирь определить фальшивую монету.
Решение
Разделить 9 монет на 3 группы по 3 монеты. Кладем по 3 монеты. Кладем по три монеты на чашки весов. Если весы в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке. Тогда берем две из трех монет и кладем их по одной на чашки. Если весы в равновесии, то легкая монета третья, если нет, то одна чашка поднимется - там фалтшивая.
2 задача
У одного старика спросили сколько ему лет. Он сказал, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это могло быть?
Решение
Он родился в високосный год 29 февраля.
3 задача
Летела стая гусей, навстречу ей - один гусь. Говорит гусь: "Здравствуйте, 100 гусей!" А вожак стаи в ответ: "Нас не 100 гусей. Вот было бы нас столько, сколько теперь, да еще столько, да еще полстолько, да четверть столько, да еще ты, гусь, вот тогда нас было бы 100." Сколько было гусей в стае?
Решение
Пусть было х гусей. Составим уравнение:
х+х+0,5х+0,25х+1=100
2,75х=99
х=36
Ответ: в стае 36 гусей.
4 задача
Роскошнолипа расцветала
Под ней червяк завелся малый.
Да вверх пополз во всю он мочь -
Четыре локтя делал в ночь.
Но днем со слепу поз обратно
Он на два локтя аккуратно
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей: мОн на верхушке липы сей.
- Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты?
Решение
(4-2)8+4=20
Ответ: высота липы 20 локтей
5 задача
Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать каждый день по 40 верст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему делать в день по 45 верст. На какой день второй человек догонит первого?
Решение
Так как первый вышел на день раньше и прошел 40 верст, то второму надо нагнать эти 40 верст.
40:(45-40)=8 дней
Ответ: за 8 дней второй человек догонит первого.
6 задача
идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст, а другой человек идет из другого города ему на встречу и проходит в день по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней путники встретятся?
Решение
За один день путники сближаются на 30+40=70 верст.
700:70=10 дней
Ответ: через 10 дней путники встретятся. '''7 задача. (задача Бируни)'''
Если 10 дирхемов (денежная единица) приносят доход 5 дирхемов за 2 месяца, то какой доход принесут 8 дирхемов за 3 месяца
Решение
10 дирхемов - 2,5 дирхема за 1 месяц
8 дирхемов - х дирхемов за 1 месяц
10/8=2,5/x
x=8*2,5/10
x=2
2*3=6
Ответ: 8 дирхемов принесут доход 6 дирхемов за 3 месяца
7 задача (Китай II век)
Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней, а дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?
Решение
1/7+1/9=16/63
1:16/63=63/16=3,9375
Ответ: через 3,9375 дня они встретятся.
8 задача
- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещает твою школу и слушает твои беседы?
- Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть - музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме того, есть еще три женщины.
Решение
Пусть школу посещают х учеников,
1/2x+1/4x+1/7x+3=x
x=28
Ответ: 28 учеников посещают школу Пифагора.
Задача из "Курса чистой математики" Войтяховского (1811 г.)
1 задача
Бутылка с пробкой стоят 12 копеек. Бутылка стоит на 10 копеек дороже, чем пробка. Сколько стоит бутылка и сколько пробка?
Решение
Пусть пробка стоит х копеек, тогда бутылка стоит (х+10) копеек.
х+(х+10)=12
2х=2
х=1(коп) - стоит пробка.
1+10=11 (коп) - Стоит бутылка
Ответ: пробка стоит 1 копейка, бутылка - 10 копеек.
2 задача
Разносчик продал первому покупателю половину имевшихся у него апельсинов и еще пол-апельсина, второму пкупателю - половину оставшихся апельсинов и еще пол-апельсина. Таким же образом продал он апельсины и остальным покупателям. Когда же подошел седьмой покупатель, то у разносчика уже ничего не осталось. Сколько апельсинов было у разносчика и сколько взял каждый покупатель?
Решение
1)Сколько всего было апельсинов?
(((((0,5*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2+0,5)*2=63 (а)
2)Сколько взял первый покупатель?
63:2+0,5=32 (а)
3)Сколько взял второй покупатель?
(63-32):2+0,5=16 (а)
4)Сколько взял третий покупатель?
(63-32-16):2+0,5=8 (а)
5)Сколько взял червертый покупатель?
(63-32-16-8):2+0,5=4 (а)
6)Сколько взял пятый покупатель?
(63-32-16-8-4):2+0,5=2 (а)
7)Сколько взял шестой покупатель?
(63-32-16-8-4-2):2+0,5=1 (а)
3 задача
Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 саженей, а собака в 5 минут 1300 саженей. Спрашивается в какое время собака догонит зайца?
Решение
500:2=250 (саженей/мин) - скорость зайца
1300:5=260 (саженей/мин) - скорость собаки
150:(260-250)=15 (Мин)
Ответ: через 15 минут собака догонит зайца.
Хостинг от uCoz